VẬN DỤNG KẾT QUẢ MỘT BÀI TOÁN

Trong quá trình dạy học chúng tôi thấy rằng các em thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em học sinh nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác. 

Sau đây chúng ta thử làm quen với bài toán sau và vận dụng nó để giải một số bài toán khác.

Bài toán: Cho hình thang ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O. Hãy chứng tỏ rằng:
S
ABD = SABC; SCDB = SCDA; SAOD = SBOC 
(ở đây ta kí hiệu: S là diện tích; S
ABD: đọc là diện tích tam giác ABD ...)

Giải: (hình 1)

Ta có: a) SABD = SABC (vì cùng chung đáy AB và có đường cao bằng đường cao của hình thang)

b) SCDB = SCDA (vì cùng chung đáy CD và có đường cao bằng đường cao của hình thang)

c) Vì SABD = SABC nên ta có: SAOD + SAOB = SBOC + SAOB 
Suy ra: S
AOD = SBOC (cùng bớt 2 vế đi SAOB)

Bây giờ chúng ta vận dụng ba cặp tam giác có diện tích bằng nhau nói trên để giải bài toán sau:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC sao cho MB < MC. Qua M hãy kẻ một đường thẳng chia diện tích tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. 

Giải: Vì MB < MC, khi đó ta có SAMB < SAMC nên đường thẳng cần kẻ phải cắt cạnh AC của tam giác ABC.

Cách 1: Gọi O là điểm chính giữa của BC. Nối AM, AO. Qua O kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC tại N. Ta có đường thẳng qua M, N là đường thẳng cần kẻ. (hình 2)

Thật vậy: Tứ giác ANOM là hình thang nên SAIN = SMIO.

Mặt khác:
S
AOC = 1/2. SABC = SAIN + SCOIN = SMIO + SCOIN = SCMN 

Cách 2: Qua đỉnh B kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC kéo dài tại D. Gọi N là điểm chính giữa của đoạn thẳng CD. Đường thẳng qua M, N là đường thẳng cần kẻ. (hình 3)

Thật vậy: Ta có tứ giác AMBD là hình thang nên
S
ABM = SADM suy ra SABC = SDMC = SAMC + SAMD và vì M là điểm chính giữa của CD nên
S
DMN = SCMN = 1/2. SABC 

Các bạn có thể giải được các bài toán sau đây không?

Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD. Hãy tìm điểm M trên cạnh của tứ giác ABCD sao cho khi nối AM thì đoạn thẳng AM chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm bất kì trên BC, qua M hãy kẻ 1 đường thẳng chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích phần này gấp 4 lần phần kia.

Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M là điểm bất kì trên AB. Tìm điểm N trên cạnh của tứ giác để khi nối M với N thì đoạn MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Lê Trọng Châu
(Giáo viên Trường THCS Bình Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh)